Математична гра  – це гра двох осіб (інколи трьох). Ходи гравці роблять по черзі, жоден з них не може пропустити хід). Вважається що гравці грають сумлінно, найкращим чином. У таких іграх можна визначити кінцевий результат, тобто передбачити виграш одного з гравців.

Для розв’язування ігрової задачі треба сформулювати виграшну стратегію одного з гравців та довести, що така стратегія веде до виграшу.

Домовимося називати гру, в якій результат не залежить від того, як грає суперник, грою-жартом. 

 

Математична розминка

1. Продовжте послідовності чисел  на три числа:

1. 123, 456, 789, 101, 112, 131, 415, ... Чи вірне таке продовження: 161, 718,192?

2. 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …  Чи вірне таке продовження 289, 324, 361?

3. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Чи вірне таке продовження  144, 233, 377?

4. 1211, 2211, 1222, 1111, 2222, … Чи вірне таке продовження  1111, 1222, 2211?

2. Продовжте послідовності на три букви:

1. П, В, С, Ч, …  Чи вірне таке продовження П, С, Н? (як дні тиждня)

2. С, Л, Б, К, …  Чи вірне таке продовження Т, Ч, Л?(як назви місяці)

3. Ч, О, Ж, З, …  Чи вірне таке продовження  Г, С, Ф? (як кольори веселки)

4. О, Д, Т, Ч, … Чи вірне таке продовження П, Ш, С? (як назви цифр)

 

Спробуйте здогадатися, чому в цій грі виграє завжди  перший гравець?

Задача. Двоє по черзі розрізають папір у клітинку, розміром  40х30 клітинок.  За один хід дозволяється зробити прямолінійний розріз  будь-якої частини вздовж лінії клітинок. Програє той, хто не зможе зробити хід.

Розв’язок. Після кожного ходу кількість частинок збільшується рівно на 1.  

Спочатку був один шматок.   В кінці гри, коли не можна зробити жоден хід, папір розрізаний на клітинки 1х1. А їх – 120.  Таким чином, гра буде тривати рівно 119 ходів. Останній, 119-й хід (також, як і всі інші ходи з непарними номерами), зробить перший гравець. Тому він в цій грі перемагає, причому незалежно від того, як він буде грати.

​

      Осмислення виграшної стратегії за допомогою поняття симетрії.

      В багатьох задачах-іграх виграшна стратегія досягається за допомогою вдалого ходу-відповіді на будь-який хід суперника. Існування такого ходу може забезпечити симетрія фігури, розбиття на пари, доповненням до числа.

 

Задача. Є дві купи каменів по 7 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість каменів, але тільки із однієї купи. Програє той, кому нема що брати. Хто може забезпечити собі перемогу в цій грі?

Розв’язок. В цій грі другий гравець перемагає за допомогою симе­тричної стратегії: кожним своїм ходом він повинен брати стільки ж каменів, скільки попереднім ходом взяв перший гравець, але з іншої купки. Таким чином, якщо у першого гравця є хід, тоді у другого гравця завжди є «симетричний» хід. Симетрія в цій задачі базується на рівності числа каменів в двох купах.

      

       От ще декілька ігор, що ілюструють ту ж ідею «симетричної» стратегії виграшу.

Задача 1. Двоє по черзі ставлять коні в клітинки шахової дошки так, що коні не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язок. Виграє другий.   Можна використати і центральну, і осьову симетрію шахівниці.

Задача 2. Двоє по черзі ставлять королі у клітинки дошки 9x9 так, що королі не б'ють один одного. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Перший хід в центр дошки, а після цього – центральна симетрія ходів першого гравця після ходів суперника.

Задача 3.

а)         Двоє по черзі ставлять слони у клітинки шахової дошки. Черговим ходом слід побити хоча б одну небиту клітинку. (Слон б'є і клітинку, на якій він знаходиться). Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі виграш?

б)         Умова гри та ж, але з турами.

Розв’язок. В обох пунктах виграє перший гравець, для випадку  а) він використає осьову симетрія шахівниці; для випадку б) він використає центральну симетрію.   Вирішальним міркуванням є те, що, якщо два симетричних поля не побиті, то поля, з яких обидва вони б'ються, також не побиті.

Задача 4. Дано клітчасту дошку 10 х 10. За хід дозволяється по­крити будь-які 2 сусідні клітинки прямокутником 1x2 так, щоб пря­мокутники не перекривались. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє другий, якщо дотримується під час кожного ходу  центральносиметричної стратегії покриття дошки.

Задача 5. В кожній клітинці дошки 11 х 11 стоїть шашка. За хід дозволяється зняти з дошки будь-яку кількість шашок, що йдуть під­ряд, або з одного вертикального, або з одного горизонтального ряду. Виграє той, хто зняв останню шашку. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Першим ходом він знімає центральну шашку, а
потім грає центрально-симетрично.

Задача 6. Є дві купки камінців: в одній — 30, в другій — 20. За хід дозволяється брати будь-яку кількість камінців, але тільки з одної купки. Програє той, кому нема що брати. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший. Першим ходом він зрівнює кількість камінців в купках, після чого обирає «симетричну» стратегію виграшу.

Задача 7. На колі розставлено 20 точок. За хід дозволяється з'єдна­ти будь-які дві з них відрізком, що не перетинає відрізків, які проведено раніше. Програє той, хто не може зробити хід. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. Виграє перший.  Першим ходом він проводить хорду, по обидва
боки від якої розташовано по 9 вершин.   Після цього, на кожний хід
другого він відповідає аналогічним ходом по інший бік від цієї хорди.

Задача 8. Ромашка має а) 12 пелюсток; б) 11 пелюсток. За хід дозволяється відірвати або одну пелюстку, або дві, що ростуть поруч. Програє той, хто не може зробити ходу. Хто забезпечить собі  виграш?

Розв’язок. В обох пунктах виграє другий гравець. Незалежно від ходу першого гравця, другий може після свого ходу залишити два однакових за довжиною ланцюжки пелюсток. Далі — симетрія.

Задача 9. На дошці записано 10 одиниць і 10 двійок. За хід дозво­ляється стерти дві будь-які цифри, а, якщо вони однакові, написати двійку, а якщо різні – одиницю. Якщо остання цифра, що залишилася на дошці одиниця, виграв перший гравець, якщо двійка — то другий. Чому у ційгрі завжди перемагає гравець, який не розпочинає гру?

Розв’язання:  Парність кількості одиниць на дошці після кожного ходу не змінюється. Оскільки спочатку одиниць було парне число, то після останнього
ходу на дошці не може залишатися одна (непарне число!)   одиниця.
Тому виграє другий гравець.

 

Дидактичні   задачі-ігри.

 

1. Гра «Хрестики-нулики» проводиться на квадратичному полі 3х3, що містить 9 квадратні клітини. Двоє гравців по черзі за­повнюють вільні клітини: перший — заповнить своїми символами горизонталь, вертикаль або діагональ з трьох квадратів. Якщо це не вдалося нікому, то гра закінчується внічию. Хто забезпечить собі перемогу?

2. Гра «9 цифр». На столі лежать 9 карток, на кожній з яких написано одну з цифр від 1-го до 9-ти включно. Цифри на всіх картках різні. Картки лежать написами догори. Двоє гравцівпо черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той,  хто першим візьме 3 картки, сума цифр на яких дорівнюватиме 15 (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу? 

3. Гра «9 слів». На столі лежать 9 карток, кожна з них містить одне зі слів: Лорен, какао, місто, хек, ліс, рама, Алла, меч, рік. [Слова на різних картках різні. Картки лежать написами догори, Два гравці по черзі беруть по одній картці зі столу. Переможцем вважається той, хто першим візьме 3 картки зі словами, що мають одну спільну літеру (на руках у переможця можуть бути й інші картки). Хто забезпечить собі перемогу?

4. Гра «9 шляхів». 8 міст, позначених першими літерами латиниці, сполучає 9 шляхів, що проходять відповідно через міста АЕН, АF, АDG, ВЕ, ВDFН, ВG, СF, СGН. Два гравці по черзі зафарбовують своїм кольором (червоним або синім) позначення шляхів на карті. Переможцем вважається той, хто перший зафарбує своїм кольором позначення всіх шляхів, які проходять через одне місто.  Хто забезпечить собі перемогу?

5. Гра Баше(Клод Гаспар Баше де Мезірака (1581—1638) — французький математик, поет,  перекладач). На початку гри в купці є п предметів. Два гравці  по черзі забирають з цієї купки предмети (від 1 до p включно). Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

6. Гра «На стежині». На кінцях стежини, розбитої на т клітин, стоять шашки різного кольору. Двоє гравців по черзі рухають шашку певного кольору на вільну клітину на довільну кількість клітин у межах від однієї до р включно в довільному напрямку, але без перескакування шашки суперника й виходу за межі стежини. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

7. Певну кількість фішок розташовано в ряд. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч, переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

8. Певну кількість фішок розташовано по колу. Два гравці по черзі забирають довільні одну або дві фішки, які стоять поруч. Переможцем вважається той, хто зробить останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

9. На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  ділять кожну групу, що містить більше одного предмета, на дві менші групи. Переможцем вважається той, хто виконає останній поділ. Хто забезпечить собі перемогу?

10. Два гравці по черзі виймають зі скриньки предмети, кількість яких не перевищує половини наявних у скриньці. Програє той,  хто візьме останній предмет. Хто забезпечить собі перемогу?

11. Є дві купи предметів. Два гравці по черзі забирають одну купу, а іншу ділять на дві частини (обидві дії виконує один і той самий гравець). Переможцем вважається той, хто останнім ходом залишить дві купки по одному камінцю. Хто забезпечить собі перемогу?

12. Є 15 шашок, розташованих в ряд. Двоє гравців ходять по черзі. Першим ходом перевертається будь-яка шашка, а кожним наступним – будь-які одна або дві сусідні ще не перевернуті шашки. Переможцем вважається той, хто примусить суперника зробити останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

13. Китайська гра «ФАН-ТАН»На початку гри є k груп предметів. Двоє гравців по черзі  забирають з будь-якої групи довільну додатну кількість предметів (можливо й усі предмети групи). Переможцем вважається той, хто виконає останній хід. Хто забезпечить собі перемогу?

​

Приклади розвязування задач

Приклад 1. Двоє кладуть по черзі п’ятаки на круглий стіл. Програє той, хто не зможе покласти черговий п’ятак. Хто виграє?

Розв’язання. Виграє перший. Він кладе п’ятак в центр столу, після чого на будь-який хід другого у першого завжди є симетрична відповідь. ■

Приклад 2. Дві компанії А і В отримали право освітлювати шахову столицю Нью-Васюки, яка по формі є прямокутною сіткою вулиць. Компанії по черзі ставлять на неосвітлене перехрестя прожектор, який освітлює весь північно-східний кут міста (від нуля до 90° ). Премію О. Бендера одержить та компанія, якій на своєму ході нічого буде освітлювати. Хто виграє при правильній грі, якщо починає компанія А?

Розв’язання. Самий північно-східний квартал міста буде освітлений у будь-якому випадку після першого ходу. Припустимо, у компанії В є виграшна стратегія. Тоді у неї є виграшна відповідь на хід компанії А, що полягає в освітленні тільки північно-східного кварталу. Але з цього ж ходу може почати гру компанія А і потім скористатися виграшною стратегією компанії В. Суперечність. Отже, виграшна стратегія у компанії А є і вона виграє. ■

Приклад 3. Двоє гравців по черзі розламують шоколадну плитку 6 ´ 8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого зі шматків уздовж заглиблення на плитці. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з гравців є виграшна стратегія ?

Розв’язання. Перемога першого гравця досягається незалежно від його гри, все ж можна було б запропонувати для нього цілком осмислену стратегію. Припустимо, що своїм першим ходом він розламав плитку на дві однакові частини розмірами 6 ´ 4. Тоді, яку б із цих частин не розламав другий гравець, у першого є можливість зробити аналогічний (симетричний) розлом у тотожній їй другій частині. При цьому одержимо дві пари рівних між собою шматків. Тоді, який би шматок не розламав другий гравець, перший знову має змогу зробити аналогічний розлом шматка, який входить із розламаним в ту ж саму пару. Таким чином, скільки б не продовжувалася гра, ходи першого гравця не змо­жуть вичерпатися раніше, ніж ходи другого. А оскільки число розломів плитки є скінченним, ми дістаємо, що врешті-решт вичерпаються ходи обох гравців. З попередніх міркувань випливає, що останній хід при цьому буде за першим гравцем, який і здобуде перемогу. ■

Приклад 4. Двоє гравців по черзі ставлять слонів на клітинки шахової дошки так, що слони не б’ють один одного (колір слонів значення не має). Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців може забезпечити собі виграш?

Розв’язання. Шахова дошка симетрична відносно свого центра, тому, на перший погляд, другий гравець на кожен хід першого має симетричний хід. Однак це не так, бо, якщо перший гравець ставить слона на одну з клітинок головної діагоналі, то другий гравець симетричного ходу не має.

Щоб розв’язати задачу за допомогою симетричної стратегії, необхідно знайти симетрію, при якій попередній хід суперника не перешкоджає дотриманню обраної стратегії. Такою є симетрія відносно прямої, що розділяє четверту і п’яту горизонталі. Симетричні відносно неї поля мають різний колір, і тому слони, поставлені на такі поля, не б’ють один одного.

Отже, другий гравець виграє, якщо на кожен хід першого гравця відповідає ходом, симетричним відносно вказаної прямої. ■

Приклад 5. Хлопчик та дівчинка по черзі зафарбовують клітинки прямокутної таблиці. За один хід треба зафарбувати дві не зафарбовані клітинки, які мають спільну сторону. Починає гру дівчинка, а програє той, хто немає можливості зробити хід. Хто переможе при правильній грі, якщо таблиця має розміри:

а) 2004 ´ 2006;   б) 2005 ´ 2006?

Розв’язання. а) Переможе хлопчик. Після кожного ходу дівчинки йому треба зафарбувати ту пару клітинок, яка центрально-симетрична відносно центра прямокутника клітинкам, тільки що зафарбованими дівчинкою. Простіше кажучи, ходи хлопчика повинні бути центрально-симетричні ходам дівчинки. Клітинки для такого ходу хлопчика завжди будуть чистими. Адже після кожного ходу хлопчика набір не зафарбованих клітинок буде мати центр симетрії ― центр прямокутника. І якщо дівчинка обере для свого ходу якісь дві чисті клітинки, то чистими будуть і клітинки для ходу хлопчика. Оскільки загальна кількість клітинок скінченна, гра колись закінчиться, а програти може лише дівчинка. Для стратегії хлопчика важливим є те, що центр прямокутника лежить у вершині клітинки.

б) Виграє дівчинка. Для прямокутника 2005 ´ 2006 центр симетрії лежить всередині спільної сторони двох клітинок, і першим ходом дівчинці треба зафарбувати ці дві клітинки. Далі вона повинна робити ходи, центрально-симет-ричні ходам хлопчика відносно центра прямокутника. ■

Приклад 6. Прямокутна шоколадка розділена 4 повздовжніми та 9 поперечними заглибленнями на 5 ´ 10 = 50 квадратних частин. Перший гравець розламує шоколадку по деякому заглибленню на дві прямокутні частини. Далі два гравці по черзі одну із отриманих частин по заглибленнях ділять на дві прямокутні частини. Хто виграє при правильній грі, якщо той, хто відламає частку 1 ´ 1:

а) програє;

б) виграє?

Розв’язання. В обох випадках виграє перший гравець, і першим своїм ходом він має розламати шоколадку на дві частини 5 ´ 5.

У варіанті а) на кожний хід другого гравця на одній половині шоколадки першому треба зробити такий же хід на іншій. Очевидно, що частку 1 ´ 1 раніше отримає другий гравець.

У варіанті б) перший гравець дублює ходи другого в іншій половині шоколадки, поки другий не відламає якусь частку 1 ´ n. Тоді з цієї частини перший отримує частку 1 ´ 1. ■

Приклад 7.  (Обласна олімпіада). Дано смужку розміром 1 ´ 2005. Двоє учнів грають у гру, по черзі роблячи свої ходи. За один хід потрібно закреслити одну довільну клітинку смужки або деякі дві послідовні клітинки. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто може забезпечити собі виграш ― перший гравець чи його суперник?

Розв’язання. Перемогу може забезпечити собі перший гравець. Першим ходом він закреслює 1003-тю (центральну) клітинку, а потім повторює ходи суперника симетрично відносно неї. ■

Приклад 8.  (Обласна олімпіада). Два гравці записують по черзі числа 1 і –1 в одиничні клітинки таблиці розміром 1987 ´ 1987. Після того, як всі клітинки заповнені, для кожного рядка, стовпця і двох діагоналей таблиці підраховується добуток чисел, які там записані. Довести, що гравець, який робить перший хід, може грати так, щоб серед цих добутків було рівно 1990 додатних.

Розв’язання. Оскільки число 1987 непарне, то існує клітинка, центром якої є центр симетрії даної таблиці. Для кожної іншої клітинки існує клітинка, симетрична з нею відносно центра таблиці. Якщо перший гравець хоче домогтись вказаного в задачі результату, то своїм першим ходом він має записати в центральну клітинку число (−1), а після кожного ходу другого гравця йому слід записувати число протилежного знаку в клітинку, симетричну відносно центра таблиці із клітинкою «суперника». Якщо, наприклад, другий гравець своїм першим ходом записує число (+1) в клітинку першого стовпця, то перший гравець записує число (−1) в симетричну з нею клітинку 1987-го стовпця. Після цього обміну ходів в кожному із заданих стовпців залишиться по 1986 клітинок, тому в першому стовпцеві буде 993 + 1 число (+1) і 993 числа (−1), тобто добуток чисел буде дорівнювати –1. У 1987 стовпцеві буде 994 клітинки з числами (−1) і 993 ― з числами (+1). Добуток всіх чисел дорівнює (+1). Таким чином, в тому рядку чи в тій діагоналі, де перший запис робить перший гравець, добуток чисел дорівнює (+1). Сюди відносяться, перш за все, обидві діагоналі, той рядок і той стовпець, які містять центральну клітинку (всього 4). Решта рядків і стовпців буде 1986 з додатними добутками і 1986 ― з від’ємними.

1986 + 4 = 1990 ― кількість додатних добутків. ■

Приклад 9. У рівностях * + * + * = *, * + * = *, * = * двоє вписують по черзі на свій розсуд замість зірочок цілі числа. Довести, що той, хто починає гру, завжди може досягти правильності усіх числових рівностей.

Розв’язання. Перший гравець повинен записати довільне ціле число замість однієї із зірочок другої рівності. Далі, записуючи числа в тій же рівності, що і його суперник, він матиме змогу записати останні числа кожної рівності, а отже, і добитися їх виконання.

Слід зауважити, що відступ від описаної стратегії може привести першого гравця і до поразки. Наприклад, суперник негайно міг би скористатися із вписування числа у третю рівність. ■

Приклад 10. Дано шахівницю 8 ´ 8 і прямокутні доміно 1 ´ 2. За один хід дозволяється накрити дві сусідні клітинки шахівниці так, щоб плитки доміно не перекривались. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з двох гравців є виграшна стратегія?

Розв’язання. Виграшна стратегія є у другого гравця. Для перемоги він кожного разу повинен ставити плитку доміно симетрично відносно центра дошки до плитки, поставленої перед цим його суперником. ■

Приклад 11. Двоє по черзі ставлять на вільні клітинки шахової дошки коней: один ― білих, другий ― чорних, роблячи це так, щоб виставлений кінь не міг бути взятий  жодним із вже поставлених противником коней. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто виграє при правильній грі: той хто починає гру чи його партнер ― і як треба ходити, щоб виграти?

Розв’язання. Нехай другий гравець, роблячи черговий хід, ставить свого коня на клітинку, яка симетрична відносно центра дошки клітинці, на яку тільки що поставив коня його партнер. Доведемо, що вказана стратегія дозволяє другому гравцю завжди добитися перемоги. Для цього покажемо, що якщо перший гравець може зробити черговий хід, то черговий хід може зробити і його партнер.

В силу вибору стратегії, по-перше, є вільна клітинка, на яку другий гравець ставить коня. По-друге, цей кінь не може бути взятий тільки що поставленим конем партнера, бо ці коні знаходяться на клітинках одного кольору. По-третє, цей кінь не може бути взятим жодним з інших виставлених партнером коней: якби він міг бути взятий з клітинки А, то виставлений останнім кінь першого гравця міг би бути взятий конем із клітинки, симетричної А відносно центра.

Зауваження. Існують інші стратегії, які дозволяють завжди виграти тому, хто ходить другим. Наприклад, він може ставити коня на клітинку, симетричну клітинці, на яку тільки що поставив коня його партнер, відносно вертикальної (горизонтальної) осі симетрії дошки.

​